第三卷, 第三期
神奇的模式概率与 “鞅”

李硕彥

数学文化, 3 (2012), pp. 73-78.

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  • 摘要

William Feller的经典教科书《概率论及其应用》提到一个试验:重复抛掷一个标准硬币,一直到连续6次出现人头。用H(= Head)代表硬币的人头那面,T(= Tail)代表背面,连续出现6个H所构成的模式就表示为HHHHHH。抛掷硬币的次数就叫做这个模式的“等待时间”,它是一个随机变量,最小值是6,最大值无限。问题是:这个等待时间的均值有多大?

标准硬币的H和T出现的概率均等,所有2^6=64个由H和T构成的长度为6的模式都有相同的机会出现。因此,凭直觉我们似乎可以得出结论——平均等待时间是64。但Feller本人不放心,于是他细心地作了冗长的计算,结果是:HHHHHH模式的平均等待时间不是64,而是126。这否定了前面的推论。Feller又尝试另一个长度为6的模式:HHTTHH模式的平均等待时间不是64,也不是126,而是70。

这些计算的结果“违反直觉”。但当科学真理与直觉相违背的时候,问题自然是在直觉那一方。原因何在?这需要我们深入思考。说句题外话:本文作者曾被电影《决胜21点》原型团队邀请参与其冒险赌博行为,但请不要认为这篇文章告诉你的是如何在赌桌上获胜,它记录的是“数学与工程的对话”。